contexte
La mécanique orbitale ou mécanique céleste est en premier lieu issue de la mécanique du point étendue aux trajectoires des objets célestes. Les objets célestes sont les étoiles (naines ou géantes), les planètes (gazeuses ou telluriques) et a priori tout corps suffisamment massif pour être un foyer gravitationnel (en déformant l'espace-temps !).
On peut considérer également tous les corps en interaction avec ces foyers de gravitation.
Pour décrire les effets gravitationnels entre deux corps physiques (au sens ou on peut leur attribuer un paramètre de masse), il faut déjà réunir quelques conditions que nous allons aborder succinctement.
Pour simplifier notre description d'une interaction à 2 corps, on considère deux objets avec un très fort rapport de masse entre elles : typiquement, une planète et vous.
On notera la masse \(M\) du foyer gravitationnel et \(m\) la masse du "mobile" qui se déplace et dont on va étudier la dynamique.
Le rapport de masse évoqué :
$$ \frac m M \ll 1$$
$$ m \ll M$$
Cette hypothèse nous assure que le foyer ne sera pas perturbé par l'interaction avec notre masse \(m\) : le centre de masse du système (\(M+m\)) est confondu avec le centre de masse du foyer.
On suppose également que notre système en interaction est isolé du reste de l'univers : on considère que l'énergie liée à leur interaction est très grande devant toutes les autres interactions environnantes (négligeables donc).
le potentiel gravitationnel
On admet l'équation de l'énergie mécanique pour un mobile qui "baigne" dans le potentiel gravitationnel ainsi que la formulation du potentiel gravitationnel.
énergie mécanique
équation
L'équation de l'énergie mécanique classique \(E\) se compose d'un terme d'énergie cinétique \(E_c\) (lié au mouvement de notre système de masse \(m\)) et du terme issu de potentiel gravitationnel \(E_p\):
$$ E = E_c + E_p $$
Avec :
$$ E_c = \frac {mv^2}{2} $$
$$ E_p = - \frac{mMG}{r} $$
Soit l'énergie mécanique totale pour la masse \(m\):
$$ E = \frac {mv^2}{2} - \frac{mMG}{r} $$
Avec \(v\) la vitesse du "mobile" \(m\) et \(r\) sa distance à la source \(M\).
conservation
On souligne le principe de conservation de l'énergie mécanique pour un système non dissipatif : les termes qui composent l'énergie mécanique se compensent mutuellement au cours du temps sans pertes avec \(E = cte~~(\forall~t)\).
Soit :
$$ \frac{dE}{dt} = 0 $$
$$ \frac{dE}{dt} = \frac{dE_c}{dt} + \frac{dE_p}{dt} = 0$$
Ou encore (pour comprendre l'effet de compensation évoqué plus haut):
$$ \frac{dE_c}{dt} = -\frac{dE_p}{dt} $$
forces centrales
On souligne également la nature des forces en jeu : il s'agit de forces centrales (ou radiales) qui s'appliquent entre deux points de l'espace.
On peut représenter la Terre par un point (son centre de masse) et considérer qu'il n'existe qu'une résultante des forces en jeu qui s'applique sur le mobile \(m\) en interaction avec \(M\).
Interaction à deux corps A et B : principes des forces centrales
On ne prend pas en compte, ici, le phénomène des marées et tout autre phénomène qui nous renvoie à la mécanique du solide : on considère la Terre comme un ensemble homogène et sa masse est répartie équitablement à partir de son centre.
Pour aller plus loin avec la mécanique du solide, il faudra considérer que lorsqu'on s'approche de la Terre, il existe un décalage entre toutes les forces d'attraction qui s'ajoutent pour nous attirer vers la Terre. Un océan à gauche aura un effet différent sur vous qu'une plaque continentale à droite : ce décalage implique une variation du champ gravitationnel et nous permet de caractériser les forces de marée.
On néglige également la composante dûe à la rotation de la Terre : la force de Coriolis.
principe de la dynamique
On rappelle le second principe de la dynamique (ou le principe fondamental de la dynamique, PFD) pour un système mécanique classique appliqué à notre mobile de masse \(m\) :
La somme (ou résultante) des forces externes appliquées à un système mécanique de masse \(m\) est proportionnelle à l'accélération \(\vec a\) que subit ce système.
$$ \vec F = m \vec a $$
Avec \(\vec F\) la seule force en action sur le mobile, équivalente à l'accélération d'attraction de notre foyer sur le système multipliée par sa masse.
On rappelle la constante universelle de la gravitation \(G = 6.67428.10^{-11}~~(m^3/kg/s^2)\).
Si on vous demande "pourquoi la gravitation", commencez par là : l'existence de cette constante universelle justifie à elle seule l'interaction fondamentale que constitue l'attraction gravitationnelle. Pour résumer la situation : nous savons très bien décrire le comportement de ces systèmes mais nous ne savons toujours pas quel est le vecteur d'interaction (n'hésitez pas à poser vos questions et proposer vos réponses ;)).
On peut commencer à traiter plus précisément notre problème à deux corps.
On utilise un système de coordonnées polaires (\(r,\theta\)) pour placer notre mobile dans le référentiel de la Terre (notre origine est son centre et \(r\) la distance entre les deux objets).
Attention, sur la figure, \(M\) est le point de coordonnées \((r,\theta)\) (pour présenter le repère polaire), à ne pas confondre avec la masse \(M\) que nous allons utiliser ensuite.
On peut reformuler l'énergie mécanique en fonction de ces coordonnées :
$$ E = \frac{mv^2}{2} - \frac{mMG}{r}$$
$$ E = \frac{m(\dot r^2 + (r\dot \theta)^2)}{2} - \frac{mMG}{r}$$
On peut faire apparaître et distinguer les composantes cinétiques radiales \(\dot r\) et orthoradiales \(r\dot \theta\) :
$$ E = \frac{m \dot r^2}{2} + \frac{m(r\dot \theta)^2}{2} - \frac{mMG}{r}$$
Le terme \(\frac{ m(r\dot\theta)^2}{2}\) est le moment cinétique du mobile (ou moment angulaire car il correspond à un mouvement de rotation autour de la source).
Dans ce système à forces centrales, il y a notamment conservation du moment cinétique \(\vec L = \vec r \wedge \vec p = m \vec r \wedge \vec v = \vec{cte}\) (qui est donc une constante du mouvement).
Il peut donc être considéré comme partie intégrante du potentiel d'interaction effectif (ou résultant) en s'associant au potentiel gravitationnel.
L'étude de ce potentiel effectif pour un système à un degré de liberté \(r\) va nous permettre d'établir différents cas pour notre système.
La norme du moment cinétique se déduit du produit vectoriel (et de notre équation) : \(m r v = mr (r\omega) = mr^2\dot\theta = cte\).
courbe d'énergie potentielle
Courbe d'énergie potentielle effective (1 degré de liberté \(r\))
Cette courbe ne représente que le terme du potentiel effectif (qui prend en compte le terme de rotation ou moment cinétique en plus du terme d'attraction).
$$ \varepsilon_p = \frac{m(r\dot \theta)^2}{2} - \frac{mMG}{r}$$
$$ \varepsilon_p = \frac{m C^2}{2 r^2} - \frac{mMG}{r}$$
Avec \(C = r^2\dot\theta = cte\), la constante des aires propre à ce type de mouvement (voir la loi des aires de Kepler).
En dérivant par rapport à \(r\):
$$ \frac{ d\varepsilon_p}{dr} = -\frac{m C^2}{r^3} + \frac{mMG}{r^2}$$
En posant \(\frac{d\varepsilon_p}{dr} = 0\), on cherche le rayon \(r_0\) qui est un point d'équilibre stable (la distance au centre ne varie pas, \(r_0=cte\)) et représente l'état d'énergie minimal : une trajectoire circulaire de rayon \(r_0\).
On note qu'ici \(C = \sqrt{MGr_0}\) et on admet que \(C= {r_0}^2 \dot\theta\) par définition.
On en déduit que \(\dot\theta = \omega = cte\) puisque \(r_0\) et \(C\) sont constants : on a donc un mouvement circulaire uniforme, au rayon \(r_0 = \frac{C^2}{MG}\), de vitesse \(v_0 = r_0 \omega = cte\).
On peut maintenant s'intéresser à cette trajectoire circulaire !
orbite circulaire
En cinématique on sait qu'une trajectoire circulaire uniforme permet de relier la vitesse \(v(r)\) et l'accélération radiale \(\vec a = a \vec e_r\) qui s'exerce sur le mobile (sans accélération orthoradiale \(\vec e_{\theta}\) dans ce mouvement):
$$ a = \frac{v^2}{r}$$
En combinant cette égalité avec le second principe de la dynamique dans notre cas :
$$ \vec F = m \vec a = m \vec g $$
Avec \(\vec g = -\frac{mMG}{r^2}\)
On obtient :
$$ - m\frac{v^2}{r} \vec e_r = -m\frac{MG}{r^2} \vec e_r$$
Dans notre cas :
$$ v^2(r_0) = v_0^2 = \frac{MG}{r_0} $$
Si \(r_0\) nous indique la possibilité d'une trajectoire circulaire, elle nous dit qu'il existe des trajectoires circulaires dont le rayon sera fixé par la constante du mouvement \(C\) qui permet probablement d'autres valeurs \(\dot\theta\) en fonction de l'énergie cinétique.
On peut donc supposer l'existence d'une trajectoire circulaire pour n'importe quel rayon \(r\) arbitraire (les conditions sont principalement \(\dot r =0\) et \(E\lt0\)).
Et on en déduit la vitesse \(v_c\) fixée sur une trajectoire circulaire de rayon \(r\):
$$ v_c(r) = \sqrt{\frac{MG}{r}}$$
C'est un résultat important que nous allons utiliser pour exprimer l'énergie mécanique \(E\) d'une trajectoire circulaire :
$$ E = \frac{m{v_c}^2}{2} -\frac{mMG}{r} $$
$$ E = \frac{mMG}{2r} -\frac{mMG}{r} $$
$$ E = -\frac{mMG}{2r} \lt 0 $$
On remarque la propriété suivante:
$$ E = -\frac{mMG}{2r} = \frac{E_p(r)}{2} $$
Puisque l'énergie se conserve, on a :
$$ \frac{dE}{dt} = \frac{dE_p}{2 dt} = 0$$
Soit :
$$ \frac{dE_p}{dt} = \frac{dE_c}{dt} = 0$$
On caractérise un peu plus l'état de la trajectoire circulaire : il s'agit d'un état d'équilibre dynamique où les deux termes de l'énergie ne varient pas au cours du temps.
En dehors de ce cas, les trajectoires fermées (avec \(E \lt 0\)) ont une distance \(r\) à la source qui oscille entre un minimum et un maximum.
On voit ainsi que pour toute interaction gravitationnelle et une énergie mécanique négative, il existe un ensemble de trajectoires fermées stables dans le temps (périodiques) dont nous pouvons qualifier et quantifier l'état d'énergie (nécessairement \(E\lt0\) pour être lié au foyer).
généralisation aux orbites excentriques
Pour trouver l'énergie d'une ellipse excentrique, on peut directement résoudre l'équation de l'énérgie mécanique.
$$ E = \frac{mV^2}{2} - \frac{mMG}{r} $$
Qui peut se reformuler sous la forme:
$$ E = \frac{mC^2}{2r^2} - \frac{mMG}{r} $$
On obtient une équation du second degré en \(r\) :
$$ r^2 = \frac{mC^2}{2E} - \frac{mMG}{E}.r $$
Soit :
$$ r^2 + \frac{mMG}{E}.r - \frac{mC^2}{2E} = 0 $$
On peut exprimer le discriminant \(\Delta=b^2-4ac\) de l'équation :
$$ \Delta = (\frac{mMG}{E})^2 + 4 \frac{mC^2}{2E} $$
On peut vérifier que \(\Delta \gt 0\) pour \(E\lt \frac{m(MG)^2}{2C^2}\) qui est toujours vrai.
Il existe donc un couple de solution \(r^* = (r_{min},r_{max})\) pour cette équation.
Avec :
$$ r_{min} = -\frac{mMG}{2E} \left( 1 - \sqrt{1+\frac{2C^2}{MG}} \right) $$
$$ r_{max} = -\frac{mMG}{2E} \left( 1 + \sqrt{1+\frac{2C^2}{MG}} \right) $$
Qui sont tous les deux positifs pour \(E\lt 0\).
On peut maintenant regarder la figure suivante pour se convaincre que la somme de ces solutions vaut \(2a\) :
Le foyer attractif est le centre de la figure et des cercles bleu et rouge. Dans cette configuration, on peut observer que :
- la distance minimale entre le foyer attractif et l'ellipse vaut \(R_1\) (ie, le périgée de la trajectoire, \(r_{min}\)))
- la distance maximale entre le foyer attractif et l'ellipse vaut \(R_2\) (ie, l'apogée de la trajectoire, \(r_{max}\)))
- le grand axe \(2a\) de l'ellipse vaut la somme des rayons \(R_1+R_2\) et donc \(r_{min}+r_{max}\)
Par définition d'une ellipse, on sait que :
$$ r_{min} = a(1-e) $$
$$ r_{max} = a(1+e) $$
On peut notamment vérifier que \(r_{min}+r_{max} = 2a\).
Ces résultats nous permettent de reformuler les paramètres \(a\) et \(e\) de l'ellipse via les paramètres \(R_1\) et \(R_2\) (nous le ferons dans l'article suivant).
Dans le cadre de notre résolution, nous pouvons vérifier que :
$$ r_{min} + r_{max} = -\frac{mMG}{E} $$
Avec par définition \(r_{min}+r_{max}=2a\), on obtient finalement l'expression de l'énergie mécanique sur une orbite excentrique :
$$ E = -\frac{mMG}{2a} $$
mise en orbite
On part de la surface terrestre qui sera notre foyer gravitationnel et on établit ses paramètres :
- Sa masse \(M_T = 5,9.10^{24}~(kg)\)
- Son rayon \(R_T = 6,371.10^{6}~(m)\)
- L'accélération appliquée aux objets environnants \(\vec g(r) = -\frac{M_TG}{r^2} \vec e_r\)
Soit \(g_0 = g(R_T) = -\frac{MG}{R_T^2}\) la valeur maximale de \(g\) (celle que nous expérimentons tous au quotidien dans l'hypothèse d'une Terre parfaitement sphérique).
Avec \(G = 6.67428.10^{-11}~(m^3/kg/s^2)\).
On cherche à trouver la vitesse \(v\) nécessaire pour atteindre une orbite circulaire d'altitude \(h = r-R_T\).
Il faut préciser qu'en tirant à la vitesse \(v\) au "ras du sol" (sans composante verticale), on atteindra effectivement l'altitude souhaitée mais selon une trajectoire elliptique et il faudra prévoir une poussée supplémentaire pour se stabiliser sur l'orbite de rayon \(R_T+h\).
On va établir les paramètres de cette trajectoire selon nos paramètres (R_T) et (r) :
$$ a = \frac{R_T+r}{2}$$
$$ e = \frac{r-R_T}{r+R_T}$$
Et notre équation pour établir ce transfert :
Soit: $$ \frac{mv^2}{2} -\frac{mMG}{R_T} = -\frac{mMG}{2a}$$
D'ou on exprime la vitesse quadratique en fonction de \(r\) (le rayon de la trajectoire visée):
$$ v^2(r) = \frac{2MG}{R_T}-\frac{2MG}{R_T+r}$$
On obtient l'équation de mise en orbite :
$$ v^2(r) = \frac{2MG}{R_T}-\frac{2MG}{R_T+r}$$
$$ v^2 = \frac{MG}{R_T}(2-\frac{R_T}{a})$$
Que l'on peut reformuler :
$$ v^2(r) = \frac{MG}{R_T} . \left( \frac{2r}{r+R_T} \right) $$
$$ v^2 = \frac{MG}{R_T} . (1+e) $$
Soit:
$$ v = \sqrt{\frac{MG}{R_T}.(1+e)} $$
Cas limites
Les cas qui nous intéressent sont les vitesses cosmiques. Le potentiel attractif et son étude nous montre des états liés (en orbite) ou des états non liés (des trajectoires ouvertes pour \(E\ge0\) que nous n'abordons pas ici).
L'idée est d'utiliser l'expression de la vitesse trouvée plus haut pour distinguer les deux régimes en terme de vitesse.
état lié : satellisation
Dans le cas où \(r \rightarrow R_T\), soit \(e \to 0\) :
$$ \lim_{r \to R_T} {v^2(r)} = \frac{MG}{R_T} = \frac{MG}{R^2_T} R_T = g_0 R_T $$
On en déduit la vitesse de satellisation (nécessaire pour s'extraire de la surface et atteindre une orbite, ce qui nous intéresse) :
$$ v_{sat} = \sqrt{\frac{MG}{R_T}} = \sqrt{g_0 R_T} $$ (\(v_{sat} \approx 8 km/s\) sur Terre)
état non lié : libération
Dans le cas où \(r \rightarrow \infty\), soit \(e \to 1\):
$$ \lim_{r \to \infty} {v^2(r)} = \frac{2MG}{R_T} = 2\frac{MG}{R_T^2} R_T = 2 g_0 R_T $$
On en déduit la vitesse de libération (nécessaire pour s'extraire totalement de l'attraction terrestre, en théorie : infiniment loin de la source) :
$$ v_{lib} = \sqrt{\frac{2MG}{R_T}} = \sqrt{2 g_0 R_T} $$ (\(v_{lib} \approx 11 km/s\) sur Terre)
Ces vitesse cosmiques sont caractéristiques d'une source de potentiel, en recalculant \(g\) on peut choisir n'importe quelle autre source et calculer ces paramètres.
L'intérêt de faire apparaître ces vitesses dans nos équations simplifie l'interprétation que nous pouvons en faire et nous permet de nous ramener facilement à des équations adimensionnelles par rapport à ces références propres au système.
généralisation des vitesses cosmiques
Ces deux vitesses sont bien des limites et s'appliquent au niveau du rayon de la Terre \(R_T\).
Cependant, il faut réaliser que plus vous serez éloigné de la Terre (sur une orbite stable) et plus la quantité d'énergie mise en oeuvre pour vous retenir devient faible : votre vitesse de libération sera d'autant plus faible.
Pour un rayon \(r\), votre limite de vitesse à ne pas dépasser pour rester sur une trajectoire fermée :
$$ v_{lib} = \sqrt{ \frac{2MG}{r} }$$
$$ v_{lib} = v_c(r) \sqrt{2}$$
équation de la mise en orbite
On peut reformuler notre vitesse de mise en orbite :
$$ v^2 = v^2_{sat} . (2-\frac{R_T}{a}) $$
$$ v^2 = v^2_{lib} . (\frac{r}{r+R_T})$$
$$ v^2 = v^2_{sat} . (1+e) $$
$$ v^2 = v^2_{lib} . (\frac{1+e}{2})$$
Je vous propose la suite du parcours avec le problème d'une orbite de transfert.