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physique:balistique-orbitale

Transfert en orbite

A propos

Marie et Pierre sont en orbite basse autour de la Terre. Ils sont sur la même orbite circulaire mais distants l'un de l'autre. Il se trouve que Pierre a emporté le sandwich de Marie avec le sien. On se propose de trouver une solution pour faire passer le sandwich de Pierre à Marie. L'espace, ça creuse. ;-)

La figure correspond à l'instant initial de notre expérience, soit $t=0$, le moment ou Pierre envoit le sandwich à une vitesse donnée dans sa direction (la même direction que son vecteur vitesse $\vec{V_R}$, visible sur la figure).


0. Hypothèses

  1. Marie et Pierre sont sur la même orbite circulaire de rayon $R$.
  2. Leurs trajectoires ne changent pas au cours du temps, ils se contentent d'évoluer sur leur orbite qui est stationnaire.
  3. On néglige la réaction produite par Pierre lorsqu'il lance le sandwich à t=0.

On note $O$ la référence du repère (centré sur la Terre) et on se place dans le plan $O_{xy}$ de la trajectoire des deux astronautes. L'angle entre Pierre et Marie est noté $\alpha$ (alpha). Dans la figure ci-dessus, Marie est en avance sur Pierre d'un quart de période avec $\alpha=\frac{\pi}{2}$.


1. Equation de l'énergie mécanique

On reprend l'équation de l'énergie mécanique $E_m$ utilisée en balistique, composée de l'énergie cinétique $E_c$ et de l'énergie potentielle de pesanteur $E_p$ :

$$ E_m = E_c + E_p = \frac{m v^2}{2} - \frac{m M G}{r} $$

Avec $m$ la masse de l'objet considéré, $v$ sa vitesse, $M$ la masse de la Terre et $G$ la constante d'attraction gravitationnelle.

:!: On remarque que la formulation de l'énergie potentielle de pesanteur $E_p$ est différente du cas classique de la balistique. Ici on prend la formulation générale du potentiel de pesanteur qui est inversement proportionnel à la distance de la source d'attraction. Le cas de la balistique classique est cependant une bonne approximation du même phénomène à la surface de la Terre et je détaillerai la démonstration mathématique dans une annexe.

Nos astronautes (ainsi que leurs sandwichs) sont constamment attirés par la Terre, le foyer gravitationnel. Ils subissent donc l'accélération centrale liée à cette attraction. La différence avec la balistique classique étant la quantité d'énergie cinétique $E_c$ des astronautes en orbite : il se déplacent avec des vitesses de l'ordre de quelques km/s autour de la Terre.

C'est le principe d'une orbite céleste ou planétaire : un objet se déplace autour d'un foyer d'attraction (une planète ou une étoile) sans jamais le rencontrer et selon une trajectoire prévisible. C'est une définition que nous retiendrons pour l'instant. On peut ajouter que les orbites sont stables lorsqu'elles sont périodiques, ce qui est le cas pour nos astronautes.

Puisque les forces sont centrales, il est plus naturel d'exprimer l'équation de l'énergie mécanique selon un repère polaire, avec $r$ et $\theta$ comme coordonnées de position.

image_polaire

Pour représenter le point M, on peut utiliser les coordonnées cartésiennes ou les coordonnées polaires

Pour passer des coordonnées cartésiennes $(x,y)$ aux coordonnées polaires $(r,\theta)$, on utilise les relations suivantes :

$$ x = r.cos(\theta) $$ $$ y = r.sin(\theta) $$

Ce qui revient à exprimer $v^2$ dans l'équation comme une fonction de ces coordonnées polaires :

$$ E_m = \frac{m (\dot{r}^2 + (r \dot{\theta})^2) }{2} - \frac{m M G}{r}$$

Avec $v^2 = \dot{r}^2 + (r \dot{\theta})^2$ et les notations différentielles suivantes : $$\dot r = \frac{dr}{dt}$$ $$\dot \theta = \frac{d\theta}{dt}$$

Détails sur les dérivées et le repère mobile.

2. Orbite Circulaire

Nos compagnons sont sur une orbite circulaire, ce qui veut dire qu'ils se déplacent sur un cercle et que leur distance à la Terre de change pas :

$$ r_M(t) = r_P(t) = R = cte ~\forall~t $$

Ce qui nous permet de réécrire, dans leur cas, l'énergie correspondante :

$$ E_m = \frac{m (R \dot{\theta})^2}{2} - \frac{m M G}{R} $$

Avec $\frac{dr}{dt}=0$ sur l'orbite circulaire.

equation

Grâce à la cinématique, on sait que pour un mouvement circulaire uniforme on peut exprimer l'accélération centrale comme une fonction du rayon et du carré de la vitesse :

$$ m \vec{a} = -m \frac{v^2}{R} \vec{e_r} $$

Sachant que l'accélération gravitationnelle s'exprime $\vec{g}=-\frac{M G}{R^2} \vec{e_r}$, on peut écrire l'égalité entre les deux formes :

$$ -m \frac{v^2}{R} \vec{e_r} = m \vec{g} =-\frac{m M G}{R^2} \vec{e_r} $$

Et on obtient :

$$ v^2 = \frac{MG}{R} ~\Leftrightarrow~ v = \sqrt{\frac{M G}{R}} $$

C'est la vitesse de Marie et Pierre sur leur orbite de rayon $R$ (notée $\vec{V_R}$ sur la figure) mais c'est aussi la formulation générale pour toute orbite circulaire si on change la valeur du rayon. Et il nous suffit de connaître le rayon $r$ de l'orbite circulaire pour caractériser complétement la trajectoire1) :

$$ v_{circulaire}(r) = \sqrt{\frac{M G}{r}} $$

:!: On peut retrouver le concept de compétition entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle de pesanteur en posant la question : quelle doit être mon impulsion, étant donnée ma position, pour ne pas tomber vers la source d'attraction et rester sur une orbite stable dans le temps ?

3. Transfert vers une orbite elliptique

Maintenant que l'on a caractérisé ce qu'il nous faut pour l'orbite circulaire, on peut passer aux orbites elliptiques car le cercle est une forme particulière d'ellipse (un cercle est une ellipse dont l'excentricité est nulle). Pour se figurer comment passer d'un cercle à une ellipse, on peut imaginer deux cercles superposés l'un sur l'autre. Puis en décalant un des cercles dans n'importe quelle direction, on introduit une excentricité à l'ellipse correspondante. Pour tracer une ellipse, il existe la méthode du jardinier connue depuis plus de 2000 ans : on plante deux piquets dans le sol et on accroche une ficelle à chacun d'eux, il suffit ensuite de prendre un bâton et tendre au maximum la ficelle en la poussant avec le bâton en tournant autour des deux piquets:

construction_ellipse

La figure obtenue est une ellipse. Les deux piquets sont les deux foyers de l'ellipse.

:!: Johannes Kepler a montré au 17ième siècle que les orbites célestes étaient de façon générale des ellipses. Il a pu produire la preuve mathématique de cette hypothèse grâce aux observations de Tycho Brahe2).

Pour pouvoir expliquer la formulation du transfert d'orbite, il faut être convaincu qu'un cercle n'est qu'une ellipse particulière. Il faut également savoir que si un cercle est caractérisé par un centre et un rayon, une ellipse est caractérisé par deux foyers (ie, deux points) et deux distances : le grand axe (qui sera noté $2a$), c'est la plus grande distance rectiligne que l'on peut inscrire dans l'ellipse et le petit axe (noté $2b$) qui est la plus petite distance qu'on peut inscrire dans l'ellipse. Le grand axe est ce qui nous intéresse le plus ici.

:!: Dans le cas du cercle de rayon $R$, on a $a=b=R$ avec les formulations liées à l'ellipse évoquées plus haut.

On peut maintenant formuler l'énergie potentielle d'un objet en orbite elliptique autour d'un foyer attractif3) :

$$ E_p = - \frac{m M G}{2 a} $$

Pour exprimer le transfert, on peut se demander quelle impulsion (ou vitesse à un facteur de masse près) il faut donner à l'objet - qui est déjà en orbite circulaire - pour le faire passer sur une orbite elliptique de grand axe $2a$ ?

Cette idée peut se formuler de la façon suivante :

$$ \frac{m {V_S}^2}{2} - \frac{m M G}{R} = - \frac{m M G}{2 a} $$

Avec $V_S$ la vitesse du sandwich, $m$ sa masse et $a$ le demi grand axe de la nouvelle orbite elliptique.

Trajectoire elliptique intérieure à l'orbite circulaire

Dans le cas ou Pierre jette le sandwich vers l'arrière. En arrangeant l'équation, on peut exprimer directement ${V_S}^2$ :

$$ {V_S}^2 = \frac{M G}{R}(2-\frac{R}{a}) $$

Une façon de vérifier la validité d'une formule - en plus de l'analyse dimensionnelle - est de regarder ses valeurs limites :

  • Pour $a=R$ qui donne $V_S=0$; c'est le cas ou Pierre jette le sandwich en arrière avec la même vitesse que celle de sa propre orbite (ie, $V_R$) - ce qui annule la vitesse absolue du sandwich : le sandwich reste littéralement sur place et tombe en ligne droite vers la Terre.
  • Avec $2a \geqslant R$ pour avoir jet de sandwich dont l'énergie cinétique est plus faible que celle de l'orbite circulaire de rayon $R$.

Ces deux valeurs limites ne permettront pas à Marie d'attraper son sandwich et la condamne à sauter un repas, ce n'est pas envisageable ! Ces cas limites nous permettent quand même de garantir la validité de la formule dans notre cas.

:!: Si vous suivez toujours, on voit que les valeurs intéressantes se situent entre ces deux extrêmes, soit :

$$ R \leqslant 2 a \leqslant 2 R $$

L'idée est ensuite de trouver la valeur de a pour laquelle le sandwich va intercepter Marie. On va passer par la troisième Loi de Kepler pour relier la période d'une orbite à son demi-grand axe a :

$$ {\frac{T}{2 \pi}}^2 = \frac{a^3}{M G} $$

D'un côté, Marie mettra un temps $T_M=\frac{distance}{vitesse} = \frac{(2 \pi - \alpha) R}{V_r} $ pour arriver une première fois au point d'interception (le point de départ du sandwich à t=0 - dans le cas ou l'orbite est stable et que nous avons correctement calculé la vitesse du lancer). On connaît l'expression de $V_r$ donc on peut réécrire ce temps :

$$ T_M = \frac{(2 \pi - \alpha) R}{V_r} = (2 \pi - \alpha) \sqrt{\frac{R^3}{MG}} $$

De l'autre côté, on utilise directement la loi de Kepler4) pour établir la période du sandwich :

$$ T_S = 2 \pi \sqrt{\frac{a^3}{MG}} $$

On veut que le sandwich rejoigne Marie soit $ T_M=T_S $, ce qui donne :

$$ T_M = (2 \pi - \alpha) \sqrt{\frac{R^3}{MG}} = T_S = 2 \pi \sqrt{\frac{a^3}{MG}} $$ Ce qui permet d'exprimer $a$ :

$$ a = (1-\frac{\alpha}{2 \pi})^{2/3} R $$

1)
si on connaît M, la masse du foyer attractif !
2)
qui n'a pas vécu en vain !
3)
il n'y a qu'un seul foyer de l'ellipse qui attire l'objet
4)
valable pour toutes les trajectoires stables
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