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physique:equation-diffusion

Phénomène de diffusion

Équation de la diffusion

L'équation de diffusion est une équation aux dérivées partielles. En physique, elle décrit le comportement du déplacement collectif de particules (molécules, atomes, photons. neutrons, etc.) ou de quasi-particules comme les phonons dans un milieu causé par le mouvement aléatoire de chaque particule lorsque les échelles de temps et d'espace macroscopiques sont grandes devant leurs homologues microscopiques. Dans le cas contraire le problème est décrit par l'équation de Boltzmann. En mathématiques, l'une ou l'autre de ces descriptions s'applique à tout sujet relevant du processus de Markov comme dans d'autres champs, telles que les sciences matérielles, la science de l’information, de la vie, sociales, etc. On parle alors plutôt de processus brownien.
Wikipédia

On s'intéresse ici à une fonction de concentration $C(x,t)$ qui suit l'équation de diffusion :

$$ \frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} $$

Transformée de Fourier et fonction duale

Notions sur la transformation de Fourier

On définit la transformée de Fourier $\overline C$15) de $C(x,t)$ : $$ \overline C(k,t) = \int_{-\infty}^{+\infty} C(x,t) e^{i k x} dx$$

Avec $k$ la variable duale de $x$.

Et on peut reformuler la concentration en fonction de $\overline C$ : $$ C(x,t) = \frac 1 {\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \overline C(k,t) e^{-ikx} dk $$

A partir de là, on va pouvoir résoudre la fonction de concentration en appliquant la transformée de Fourier à l'équation directement : $$ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial C}{\partial t} e^{ikx} dx = \int_{-\infty}^{+\infty} D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} e^{ikx} dx $$

$$ \frac{\partial }{\partial t} \int_{-\infty}^{+\infty} C(x,t) e^{ikx} dx = D ([e^{ikx} \frac{\partial C}{\partial x}]_{-\infty}^{+\infty} - ik \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial C}{\partial x} e^{ikx} dx) $$

$$ \frac{\partial \overline C}{\partial t} = D ([e^{ikx} \frac{\partial C}{\partial x}]_{-\infty}^{+\infty} - ik \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial C}{\partial x} e^{ikx} dx) $$

Le premier terme de droite est nul : la dérivée $\frac {\partial C}{\partial x}$ s'annule à l'infini du fait que la concentration elle-même tend vers 0.

$$ \frac{\partial \overline C}{\partial t} = - iDk \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial C}{\partial x} e^{ikx} dx $$

On intègre de nouveau par partie : $$ \frac{\partial \overline C}{\partial t} = - iDk ([C(x,t)e^{ikx}]_{-\infty}^{+\infty} - ik \int_{-\infty}^{+\infty}C(x,t) e^{ikx} dx ) $$

Et, de nouveau, le premier terme de la somme fait 0 pour la même raison : la concentration n'est pas infinie et s'annule lorsque $x\rightarrow \infty$.

$$ \frac{\partial \overline C}{\partial t} = (- iDk)(-ik) \int_{-\infty}^{+\infty}C(x,t) e^{ikx} dx $$

On rappelle que le nombre imaginaire $i$ est défini par $i^2=-1$.

$$ \frac{\partial \overline C}{\partial t} = - k^2 D \int_{-\infty}^{+\infty}C(x,t) e^{ikx} dx $$

On obtient une nouvelle équation en fonction de $\overline C$ :

$$ \frac{\partial \overline C}{\partial t} \rightarrow \frac{d\overline C}{d t} = - k^2 D \overline C(x,t) $$

Il faut résoudre cette équation :-), maintenant bien plus pratique à manipuler : $$ \frac{d\overline C}{\overline C} = (ik)^2 D dt $$

Soit : $$ \overline C = A e^{(ik)^2 D t} $$

Cette fonction est intéressante telle quelle déjà, on peut en faire la transformée de Fourier pour exprimer $C$ : $$ C(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \overline C e^{i k x} dk = \frac A {\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{(ik)^2 D t} e^{-ikx} dk $$

$$ C(x,t) = \frac A {\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{ -(k^2Dt +ikx) } dk $$

La phase de l'exponentielle $-(k^2Dt +ikx)$ peut se reformuler de la façon suivante : $$ -(k^2Dt +ikx) = -Dt(k^2 + \frac{ikx}{Dt}) = -Dt(k + \frac{ix}{2Dt})^2 + \frac{x^2}{4Dt} $$

En remplaçant la phase, on obtient un terme indépendant de $k$ qui peut sortir de l'intégrale : $$ C(x,t) = \frac A {\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{ -Dt((k + \frac{ix}{2Dt})^2 + \frac{x^2}{4Dt} )} dk $$

$$ C(x,t) = \frac {A} {\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{4Dt}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{ -Dt(k + \frac{ix}{2Dt})^2 } dk $$

L'intégrale restante peut se calculer comme la gaussienne quelle est :

$$ C(x,t) = \frac {A} {\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{4Dt}} \sqrt{\frac{\pi}{Dt}} $$

Soit : $$ C(x,t) = \frac {A} {\sqrt{2 Dt}} e^{-\frac{x^2}{4Dt}} $$

La constante $A$ restante est fixée par la normalisation du système : $$ \int_{-\infty}^{+\infty} C(x,t) dx = C_0 $$

$$ \frac {A} {\sqrt{2 Dt}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{4Dt}} dx = C_0 $$

$$ \frac {A} {\sqrt{2 Dt}} \sqrt{4 \pi Dt} = C_0 $$

$$ A \sqrt{2\pi} = C_0 $$

$$ A = \frac {C_0} {\sqrt{2\pi}} $$

Soit, finalement notre solution gaussienne à l'équation de la chaleur :

$$ C(x,t) = \frac {C_0} {\sqrt{4 \pi Dt}} e^{-\frac{x^2}{4Dt}} $$

On peut savoir - après une étude statistique plus poussée - que cette solution est particulière : elle ne fait pas intervenir de valeur moyenne, ce qui est normalement le cas pour cette distribution. Dans notre première formulation, la moyenne est en fait nulle et la diffusion se fait autour de l'axe des ordonnées ($x=0$) mais lorsque la valeur moyenne $<x>$ n'est pas nulle, on a plus généralement :

$$ C(x,t) = \frac {C_0} {\sqrt{4 \pi Dt}} e^{-\frac{(x-<x>)^2}{4Dt}} $$

Équation d'Einstein-Smoluchowski

Cette équation est l'équation de la diffusion avec un terme de dérive en plus :

$$ \frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} - v \frac{\partial C}{\partial x} $$

Ce terme est proportionnel au gradient de la concentration $\frac{\partial C}{\partial x}$ et à une vitesse $v=cte$ de dérive. Le signe moins pour traduire le fait qu'une particule à vitesse $v$ positive se déplacera vers les concentration décroissantes, ce qui est en accord avec la loi de Fick16).

On peut appliquer la même résolution que précédemment et montrer que la solution générale de cette équation est :

$$ C(x,t) = \frac{C_0}{4 \pi D t} e^{-\frac{(x-v t)^2}{4 D t}}$$

Il est très utile d'avoir des solutions générales pour ces équations mais elles ne constituent pas un point de départ à l'étude des phénomène aléatoires, dont ceux qui touchent au transport. Beaucoup de problèmes restent ouverts et le domaine discret permet un accès à beaucoup de réponses17) :-).

15)
ou fonction duale, prononcer “C barre”
16)
ou première loi de Fick en considérant que la seconde est l'équation de la chaleur elle-même
17)
quoique ça veuille dire !
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