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physique:oscillateur-harmonique

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Oscillateur Harmonique

Ce modèle est peut-être l'un des plus utilisés tant il peut s'appliquer à tout système physique baignant dans un potentiel d'énergie36) autour d'une position d'équilibre (locale ou globale).

Son équation générale est :

$$ \frac{d^2x}{dt^2} + \omega_0^2 x(t) = 0 $$

Avec $x(t)$ la coordonnée oscillante de notre système.

L'avantage est d'avoir une relation linéaire entre la seconde dérivée temporelle et la fonction : $$ \frac{d^2x}{dt^2} = - \omega_0^2 x$$

Le fait d'avoir une fonction oscillante implique une périodicité et on peut choisir de la représenter par une exponentielle imaginaire : $$ x(t) = x_0 \exp{(-i \omega t)} $$

On trouve donc les dérivées : $$ \dot x(t) = -i \omega x_0 \exp{(-i \omega t)} = -i \omega x(t)$$

$$ \ddot x(t) = - \omega^2 x_0 \exp{(-i \omega t)} = -\omega^2 x(t) $$

D'où on peut déduire que $\omega=\omega_0$.

$$ x(t) = x_0 \exp{(-i \omega_0 t)} $$
$$ x(t) = x_0 ( \cos{(\omega_0 t)} + i\sin{(\omega_0 t)} ) $$

Avec une partie réelle :

$$ \Re (x) = x_0 \cos{(\omega_0 t)} $$

Et une partie imaginaire :

$$ \Im (x) = x_0 \cos{(\omega_0 t)} $$

36)
donc subissant des forces qui dérivent d'un potentiel d'énergie
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