doku:αΩ « Wikidd »

des 𝞹-pes, du sudo maso & la main sur l'hacker !

User Tools

Site Tools


physique:series-de-fourier

Décomposition en série de Fourier

Je vais présenter une application pour décomposer un signal périodique. Un signal périodique se reproduit égal à lui-même de façon cyclique dans l'espace d'une de ses variables.

Étude d'une fonction périodique

On va prendre l'exemple d'un signal carré qui évolue dans le temps (noté $t$) et l'espace (noté $x$) :

Signal Carré

Il s'agit d'une simple marche qui représente deux valeurs : l'état haut (valeur maximale) et l'état bas (valeur minimale). On peut voir la fonction carrée comme l'alternance des deux états de façon symétrique (les deux états ont la même durée) et périodique (l'alternance haut/bas vaut une période et elle se reproduit indéfiniment) dans son espace.

À partir de cette définition, on peut formuler une fonction carrée $S$ comme : $$ S(0,t)~=~\lbrace \begin{array}{ll} 0\quad;~ t \in [-a,0[ \\ a\quad;~ t \in [0,a] \end{array} \rbrace \quad modulo\quad T=2a $$ Avec $T$ la période du signal et $a$ le facteur d'amplitude50) mais également un sous-multiple de la période.

On prend la fonction en un point $x=0$ pour la suite.

Décomposition du signal

De manière générale, on peut formuler la décomposition en série de Fourier d'une fonction (le signal) de la façon suivante : $$ S(x,t) = S_0(x) + \sum_{n=1}^{\infty} A_n(x) \cos(\frac{n \pi}{2 a}t) + B_n(x) \sin(\frac{n \pi }{2 a}t)$$

Avec - par définition - les valeurs des coefficients de Fourier : $$ A_n(x) = \frac 2 T \int_{-T/2}^{+T/2} S(x,t) cos(\frac{n \pi}{a}t)dt $$ $$ B_n(x) = \frac 2 T \int_{-T/2}^{+T/2} S(x,t) sin(\frac{n \pi}{a}t)dt $$

Et le terme moyen : $$ S_0(x) = \frac 1 T \int_{-T/2}^{+T/2}S(x,t)dt $$

Je souligne que cette formulation mathématique est le passage de notre signal dans une base $\mathbb{R}^2$ dont les composantes unitaires sont les fonctions sinus et cosinus de notre variable $t$. C'est tout le génie de Fourier d'avoir utilisé ces fonctions comme la base d'un nouvel espace51). Cela permet d'établir une série d'indice $n$52) et si la convergence de cette série peut être prouvée53) alors il est possible de décomposer notre signal dans cette base.

On cherche à résoudre notre signal dans le temps en un point de l'espace fixé à $x=0$. On peut commencer par calculer le terme moyen : $$ S_0(0) = \frac 1 T \int_{-a}^{+a} S(0,t)dt $$ $$ S_0(0) = \frac a {2a} \int_{0}^{+a} dt $$ $$ S_0(0) = \frac a 2 $$

Puis nos coefficients à partir de notre signal $S(0,t)$ : $$A_n(0) = \frac 2 {2a} \int_{-a}^{+a} S(0,t) cos(\frac{n \pi }{a}t)dt $$ $$B_n(0) = \frac 2 {2a} \int_{-a}^{+a} S(0,t) sin(\frac{n \pi }{a}t)dt $$

La fonction est nulle sur la moitié de l'intervalle dans notre configuration : $$A_n(0) = \frac 1 a \int_{0}^{+a} a cos(\frac{n \pi }{a}t)dt $$ $$B_n(0) = \frac 1 a \int_{0}^{+a} a sin(\frac{n \pi }{a}t)dt $$

$$A_n(0) = \int_{0}^{+a} cos(\frac{n \pi }{a}t)dt = \frac{a}{n\pi} [+sin(\frac{n\pi}{a}t)]_0^a = 0 ~~\forall ~n$$ $$B_n(0) = \int_{0}^{+a} sin(\frac{n \pi }{a}t)dt = \frac{a}{n\pi} [-cos(\frac{n\pi}{a}t)]_0^a $$

On voit que les composantes $A_n(x=0)$ sont toutes nulles et que le signal peut s'écrire uniquement selon l'autre composante pour $x=0$ : $$B_n(0) = \frac{a}{n\pi} (1-cos(n\pi)) $$

On arrive finalement à formuler notre signal décomposé : $$ S(0,t) = S_0(0) + \sum_{n=1}^{\infty} B_n(0) sin(\frac{n\pi}{a}t) $$

$$ S(0,t) = \frac a 2 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a}{n\pi} (1-cos(n\pi)) sin(\frac{n\pi}{a}t) $$

On peut ainsi construire (ou générer) une approximation de notre signal en arrêtant la somme avant l'infini :-) :

Génération signal

Chaque harmonique $n$ est composée d'une amplitude ainsi que d'une fréquence propre et le signal résultant est la superposition de toutes ces composantes. Pour comprendre le principe, on peut illustrer la génération du signal en construisant une représentation de la somme comme ceci : chaque harmonique $n$ est un bâton dont la longueur est égale à son amplitude et il tourne à la fréquence de l'harmonique autour de l'extrêmité du bâton précédent. Le signal sera le mouvement résultant de l'etrêmité de la succession de cette chaîne de bâtons en mouvement.

Application numérique

50)
$a=1$ dans notre cas
51)
rappelons que cosinus est la différentielle de sinus au passage
52)
soit au final une variable pour un espace à deux composantes ie, $\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}^2$
53)
compte tenu des coefficients $A_n$ et $B_n$
/home/duke/www/dukeart/wiki/data/pages/physique/series-de-fourier.txt · Last modified: 2021/03/18 09:53 (external edit)